To już ostatnie 4 zad. Proszę o pomoc, pilne! 1. Oblicz pole P powierzchni całkowitej i objętość V graniastosłupa prawidłowego określając,jakim wielokątem jest jego podstawa, gdy graniastosłup ma: A) 18 krawędzi, z których każda ma 5 cm długości b) 15 krawędzi i każda z nich ma długości 10cm 2. Pola trzech różnych ścian prostopadłościanu są odpowiednio równe 30cm2, 35cm2 i 42cm2. Oblicz objętość tego prostopadłościanu 3. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości wszystkich krawędzi jest równa 48cm, a pole powierzchni całkowitej jest równe 90cm2. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa oraz cosinus kąta alfa nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy 4.Oblicz ile ścian ma graniastosłup w którym: a) liczba wierzchołków jest o 7 mniejsza od liczby krawędzi b) liczba ścian jest o 8 mniejsza od liczby wierzchołków c) liczba krawędzi jest dwa razy większa niż liczba ścian

1) a) sześcian V = 6*a pierwiastek 3 ------------------ * h 4 V = 6 * 5 pierwiastek 3 ------------------- * 5 4 V = 30 pierwiastek 3 ---------------- * 5 4 V = 150 pierwiastek 3 ---------------- 4 V = 37,5 pierwiastek 3 cm 3(sześciennych)

Zad. 1. Niech K oznacza liczbę krawędzi, n - liczbę kątów w podstawie, zaś a - krawędź graniastosłupa. Wiemy, że ogólnie K=3n. a)K=18, a=5 3n = 18 /:3 n = 6 -> podstawę tworzy sześciokąt Pc = 2Pp + 6Pśb Pp = 6 * {a^2\sqrt{3}}\over4 = 3 * {25\sqrt{3}}\over2={75\sqrt{3}}\over2 Pśb = a^2 = 25 Pc = 2 * {75\sqrt{3}}\over2 + 6 * 25 = 75\sqrt{3} + 150 V = Pp * a = {75\sqrt{3}}\over2 * 5 = {375\sqrt{3}}\over2 b) - korzystając z rozumowania a) Zad.2. a,b,c - kolejne krawędzie prostopadłościanu, a,b,c>0 a*b=30 b*c=35 a*c=42 V = a*b*c (a*b) * (b*c) * (a*c) = 30 * 35 * 42 a^2 * b^2 * c^2 = 44100 Jako że a,b,c>0, możemy spierwiastkować stronami a * b * c = \sqrt{44100} = 210 = V Zad. 3. k - suma krawędzi, k=48 Pc=90 a=? H=? cos\alpha=? k = 8a + 4H = 4(2a + H) = 48 /:4 2a + H = 12 H = 12 - 2a Pc = 2a^2 + 4aH = 2(a^2 + 2aH) = 90 /:2 a^2 + 2aH = 45 a^2 + 2a(12-2a)=45 a^2 + 24a - 4a^2 = 45 3a^2 - 24a + 45 = 0 3(a^2 - 8a + 15) = 0 3(a-5)(a-3) = 0 a=5 lub a=3 1) a=5 H=12-2a=2 b - przekątna podstawy b=a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} d - przekątna prostopadłościanu d=\sqrt{H^2 + b^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} cos\alpha=b/d={5\sqrt{2}}\over6 2) a=3 H=12-2a=6 b=3\sqrt{2} d=\sqrt{6^2 + (3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{6} cos\alpha=\sqrt2\over2 Zad. 4. n-liczba kątów w podstawie W-liczba wierzchołków, W=2n Ś-liczba ścian, Ś=n+2 K-liczba krawędzi, K=3n a) W = K-7 2n = 3n -7 n=7 Ś = n+2 = 9 b) Ś=W-8 n+2=2n-8 n=10 Ś=n+2=12 c) K=2Ś 3n=2(n+2) 3n=2n+4 n=4 Ś=n+2=6