Zadanie: Promień kuli jest równy promieniowi podstawy stożka. Oblicz stosunek objętości kuli do objętości stożka, którego: a) przekrojem osiowym jest trójkąt prostokątny b) kąt rozwarcia jest równy 120 stopni

Aby rozwiązać to zadanie, potrzebujemy wzorów na objętości kuli i stożka oraz kilku dodatkowych informacji z geometrii.

---

Objętość kuli \( V_k \) jest dana wzorem:

\[ V_k = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

gdzie \( r \) to promień kuli.

---

Objętość stożka \( V_s \) jest dana wzorem:

\[ V_s = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

gdzie \( r \) to promień podstawy stożka, a \( h \) to wysokość stożka.

---

a) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym

Jeśli przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, oznacza to, że wysokość \( h \) stożka jest równa promieniowi \( r \) podstawy stożka.

Zatem wysokość \( h = r \).

Podstawiając do wzoru na objętość stożka, mamy:

\[ V_s = \frac{1}{3} \pi r^2 r = \frac{1}{3} \pi r^3 \]

Teraz obliczamy stosunek objętości kuli do objętości stożka:

\[
\text{Stosunek} = \frac{V_k}{V_s} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{1}{3} \pi r^3} = \frac{4}{1} = 4
\]

---

b) Kąt rozwarcia stożka jest równy 120 stopni

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwoma tworzącymi stożka, które są prostymi od wierzchołka stożka do krawędzi podstawy.

Aby znaleźć wysokość \( h \), użyjemy trygonometrii w przekroju osiowym stożka.

Jeśli kąt rozwarcia wynosi 120 stopni, to połowa tego kąta wynosi 60 stopni. Trójkąt między wysokością, promieniem podstawy i tworzącą stożka jest trójkątem prostokątnym z kątem 60 stopni.

Wysokość \( h \) to przeciwprostokątna razy \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Zatem \( h = r \times \frac{1}{2} = \frac{r}{2} \).

Podstawiając do wzoru na objętość stożka, mamy:

\[ V_s = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{r}{2} = \frac{1}{6} \pi r^3 \]

Stosunek objętości kuli do objętości stożka wynosi:

\[
\text{Stosunek} = \frac{V_k}{V_s} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{1}{6} \pi r^3} = \frac{4}{3} \times 6 = 8
\]

---

Podsumowując, stosunki objętości wynoszą:

a) Stosunek w przypadku trójkąta prostokątnego: 4

b) Stosunek w przypadku kąta rozwarcia 120 stopni: 8