Suma wszystkich współczynników równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0 jest równa 0. Wykaż, że każde równanie kwadratowe o tej własności ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste

Mamy ax^{2}+bx+c = 0 (*) oraz a+b+c = 0 (**) wyznaczamy c z r-nia (**): \; c=-(a+b) podstawiamy wyznaczone c do (*): ax^{2}+bx-(a+b) = 0 (***) liczymy wyznacznik trójmianu kwadratowego (***): \Delta = b^{2}+4a(a+b)=b^{2}+4ab+4a^2=(b+2a)^{2} Jest on kwadratem jakiejś liczby rzeczywistej (a kwadrat takiej liczby jest dodatni), czyli zawsze możemy obliczyć z niego pierwiastek: \sqrt{\Delta}= b+2a Wynika stąd, że zawsze istnieją rozwiązania r-nia (*) postaci: x_{1} = \frac{-b-b-2a}{2a}=\frac{-(b+a)}{a} \; \; i \; \; x_{2}=\frac{-b+b+2a}{2a}=1 Ciekawe :) Jedno rozwiązanie będzie istniało oczywiście wtedy, gdy b=-2a, wtedy będziemy mieć tylko x=1.