22. Oblicz długość fali materii odpowiadającej elektronowi poruszającemu się z prędkością o wartości równej połowie wartości prędkości światła. Rozwiąż zadanie w ujęciu klasycznym 23. Energia kinetyczna fotoelektronu wynosi 3,6 eV. a) Oblicz długość fali materii odpowiadającej temu elektronowi b) Ustal, jaki warunek musi spełnić odległość pomiędzy płaszczyznami w krysztale, na którym te elektrony ulegałyby dyfrakcji

Zadanie 22

Aby obliczyć długość fali materii odpowiadającej elektronowi, który porusza się z prędkością równą połowie prędkości światła, możemy skorzystać z wzoru de Broglie'a na długość fali:

\[ \lambda = \frac{h}{p} \]

gdzie:
- \( \lambda \) to długość fali materii,
- \( h \) to stała Plancka (\(6,626 \times 10^{-34} \, \text{m}^2\text{kg/s}\)),
- \( p \) to pęd elektronu.

Pęd \( p \) wyrażamy jako iloczyn masy \( m \) i prędkości \( v \):

\[ p = mv \]

Dla elektronu, który porusza się z prędkością równą połowie prędkości światła (\( v = \frac{c}{2} \)), możemy podstawić wartości:

- Masa elektronu \( m \approx 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \),
- Prędkość światła \( c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \).

Teraz obliczamy pęd:

\[ p = m \cdot \frac{c}{2} = 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \cdot \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2} \]

\[ p \approx 1,365 \times 10^{-22} \, \text{kg m/s} \]

Podstawiając do wzoru de Broglie'a:

\[ \lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \, \text{m}^2\text{kg/s}}{1,365 \times 10^{-22} \, \text{kg m/s}} \]

\[ \lambda \approx 4,86 \times 10^{-12} \, \text{m} \]

Długość fali materii wynosi około \( 4,86 \, \text{pm} \) (pikometrów).

---

Zadanie 23

a) Obliczanie długości fali materii dla fotoelektronu o energii kinetycznej 3,6 eV

Energia kinetyczna \( E_k \) jest dana jako 3,6 eV. Aby użyć wzoru de Broglie'a, musimy najpierw przeliczyć energię z elektronowoltów (eV) na dżule (J):

\[ 1 \, \text{eV} = 1,602 \times 10^{-19} \, \text{J} \]

\[ E_k = 3,6 \, \text{eV} \times 1,602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} \]

\[ E_k \approx 5,767 \times 10^{-19} \, \text{J} \]

Pęd \( p \) jest związany z energią kinetyczną przez wzór:

\[ E_k = \frac{p^2}{2m} \]

Stąd:

\[ p = \sqrt{2mE_k} \]

Podstawiamy wartości:

\[ m = 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \]

\[ p = \sqrt{2 \times 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \times 5,767 \times 10^{-19} \, \text{J}} \]

\[ p \approx 1,084 \times 10^{-24} \, \text{kg m/s} \]

Długość fali materii:

\[ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{6,626 \times 10^{-34} \, \text{m}^2\text{kg/s}}{1,084 \times 10^{-24} \, \text{kg m/s}} \]

\[ \lambda \approx 6,11 \times 10^{-10} \, \text{m} \]

Długość fali materii wynosi około \( 0,611 \, \text{nm} \).

b) Warunek dla odległości pomiędzy płaszczyznami w krysztale

Aby doszło do dyfrakcji, musi być spełniony warunek Bragga:

\[ 2d \sin \theta = n\lambda \]

Dla maksymalnego kąta dyfrakcji \( \theta = 90^\circ \) mamy:

\[ \sin \theta = 1 \]

Stąd:

\[ 2d = n\lambda \]

Dla pierwszego maksimum dyfrakcyjnego (\( n = 1 \)):

\[ d = \frac{\lambda}{2} \]

Podstawiając obliczoną długość fali:

\[ d = \frac{0,611 \, \text{nm}}{2} \]

\[ d \approx 0,305 \, \text{nm} \]

Odległość pomiędzy płaszczyznami w krysztale powinna wynosić około \( 0,305 \, \text{nm} \).